Если тренер сборной России, то ему платит Российский футбольный союз, финансируется он государством + спонсоры.
Спонсоры РФС: http://www.rfs.ru/rfs/information/sponsors/
В клубах тренер, как и все остальные работники, получает зарплату из бюджета клуба. Бюджет складывается из спонсорских средств + собственные средства клуба, всяческие рекламы, премиальные за выход/гол/участие в каких либо чемпионатах/кубках, и все коммерческие услуги которые только могут быть.
Кстати о зарплатах футболистов: