Собаку усыпляют в две стадии. Сначала дают наркоз, чтобы собака заснула, потом вводят препарат, который вызывает остановку сердца. 2 года назад нам пришлось усыпить свою собаку, мама врач - усыпляла сама, поэтому знаю процедуру. Животное не мучается, ему не больно, не страшно.
Если не разрешите проблему, напишите в личку, я могу посоветовать ветеринара.